如图甲所示，在同一竖直平面内有两个正对着的相同半圆光滑轨道，相隔一定的距离，虚线沿竖直方向．一个质量为m的小球能在其间运动，今在最高点与最低点各放一个压力传感器

题型：济宁模拟难度：来源：

如图甲所示，在同一竖直平面内有两个正对着的相同半圆光滑轨道，相隔一定的距离，虚线沿竖直方向．一个质量为m的小球能在其间运动，今在最高点与最低点各放一个压力传感器，测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来，当轨道距离变化时，测得两点压力差△F_N与距离x关系图象如图乙所示，g取10m/s²，轨道半径为R，不计空气阻力．求：
（1）小球在最高点与最低点对轨道压力差△F_N与距离x的关系式（用题中所给字母表示）．
（2）根据图象提供的信息，确定小球的质量为多少？
（3）若小球在最低点B的速度为20m/s，为使小球能沿轨道运动，x的最大值为多少？

答案

（1）小球由最高点到最低点，由机械能守恒定律得

1

2

m

v

2B

=mg(2R+x)+

1

2

m

v

2A

小球在B点时，由牛顿第二定律得 FN1-mg=m

v 2B

R

小球在A点时，由牛顿第二定律得 FN2+mg=m

v 2A

R

化简解得两点的压力差为 △FN=FN1-FN2=6mg+

2mgx

R

（2）由图象得截距 6mg=6N                                           
解得m=0.1 kg                                                           
（3）因为图线的斜率 k=

2mg

R

=1
所以 R=2 m                                                             
小球在A点不脱离轨道的条件为 vA≥

Rg

化简解得x的最大值为 x_m=15 m     
答：（1）小球在最高点与最低点对轨道压力差△F_N与距离x的关系式为△FN=FN1-FN2=6mg+

2mgx

R

；
（2）根据图象提供的信息，确定小球的质量为0.1kg；
（3）若小球在最低点B的速度为20m/s，为使小球能沿轨道运动，x的最大值为15m．