如图所示，在直角坐标系xOy决定的平面内，有两个同心圆，外侧圆半径为R1，内侧圆半径为R2，圆心为O．两圆之间的圆环内有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于

题型：不详难度：来源：

如图所示，在直角坐标系xOy决定的平面内，有两个同心圆，外侧圆半径为R₁，内侧圆半径为R₂，圆心为O．两圆之间的圆环内有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面指向纸内．在圆心O处有一质子源，沿y轴负方向发射质子流，质子流中质子的速度范围为0～v．结果有的质子从内侧圆离开磁场，有的质子从外侧圆离开磁场．已知质子带电量为e，质量为m，不考虑质子通过磁场后再进入磁场的情况．
（1）求所有质子通过的内侧圆的孤长；
（2）质子在磁场中运动的最长时间．

答案

（1）由题意可知，轨迹圆与外侧圆相切时，对应的质子离开内侧圆的弧长最长，设圆半径为r，如图所示，由几何关系可得：
r2+

R

22

=(R1-r)2
tanθ=

r

R2

联立以上两式解得：
θ=arctan(

R 21 - R 22

2R1R2

)
所以，所有质子通过的内侧圆的弧长：
L=2θ•R₂
∴L=2R2arctan(

R 21 - R 22

2R1R2

)
（2）质子运动周期：
T=

2πm

eB

如图所示，质子从内侧圆离开对应的最大圆心角为：
α=2π-（π-2θ）=π+2θ
所以，质子从内侧圆离开的质子在磁场中运动的最长时间为：
tmax=T•

α

2π

=m

π+2arctan( R 21 - R 22 2R1R2 )

eB

．
从外侧圆离开的质子速度更大，弧长更短，所以在磁场中运动的时间比t_max小，t_max即为质子在磁场中运动的最长时间．
答：（1）求所有质子通过的内侧圆的孤长为2R2arctan(

R 21 - R 22

2R1R2

)．
（2）质子在磁场中运动的最长时间为m

π+2arctan( R 21 - R 22 2R1R2 )

eB

．