如图（甲）所示，在直角坐标系0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有一个以点（3L，0）为圆心、半径为L的圆形区域，圆形区域与x轴的交点分别为M、N．现

题型：昌平区二模难度：来源：

如图（甲）所示，在直角坐标系0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有一个以点（3L，0）为圆心、半径为L的圆形区域，圆形区域与x轴的交点分别为M、N．现有一质量为m，带电量为e的电子，从y轴上的A点以速度v₀沿x轴正方向射入电场，飞出电场后从M点进入圆形区域，速度方向与x轴夹角为30°．此时在圆形区域加如图（乙）所示周期性变化的磁场，以垂直于纸面向外为磁场正方向），最后电子运动一段时间后从N飞出，速度方向与进入磁场时的速度方向相同（与x轴夹角也为30°）．求：
（1）电子进入圆形磁场区域时的速度大小；
（2）0≤x≤L区域内匀强电场场强E的大小；
（3）写出圆形磁场区域磁感应强度B₀的大小、磁场变化周期T各应满足的表达式．

答案

 （1）电子在电场中作类平抛运动，射出电场时，如图1所示．
          由速度关系：

v0

v

=cos30°     解得  v=

2 3

3

v0 
 （2）由速度关系得vy=v0tan30°=

3

3

v0
      在竖直方向a=

eE

m

vy=at=

eE

m

?

L

v0

           解得  E=

3 m v 20

3eL

（3）在磁场变化的半个周期内粒子的偏转角为60°，根据几何知识，在磁场变化的半个周期内，
        粒子在x轴方向上的位移恰好等于R．粒子到达N点而且速度符合要求的空间条件是：2nR=2L
        电子在磁场作圆周运动的轨道半径
             R=

mv

eB0

=

2 3 mv0

3eB0

   
            解得B0=

2 3 nmv0

3eL

（n=1、2、3…） 
    若粒子在磁场变化的半个周期恰好转过

1

6

圆周，同时MN间运动时间是磁场变化周期的整数倍时，
        可使粒子到达N点并且 速度满足题设要求．应满足的时间条件：
             2n?

1

6

T0=nT       解得T0=

2πm

eB0

 
         T的表达式得：T=

3 πL

3nv0

（n=1、2、3…）
答：（1）电子进入圆形磁场区域时的速度大小为解得 v=

2 3

3

v0；
    （2）0≤x≤L区域内匀强电场场强E的大小E=

3 m v 20

3eL

；
    （3）圆形磁场区域磁感应强度B₀的大小表达式为B0=

2 3 nmv0

3eL

（n=1、2、3…） 
       磁场变化周期T各应满足的表达式为T=

3 πL

3nv0

（n=1、2、3…）．