登月舱在离月球表面112km的高空绕月球运行，运行周期为120.5min，已知月球半径为1.7×103km，试估算月球的质量．

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登月舱在离月球表面112km的高空绕月球运行，运行周期为120.5min，已知月球半径为1.7×10³km，试估算月球的质量．

答案

设登月舱的质量为m，月球的质量为M，月球的半径为r_月，登月舱离月球表面的距离为r．
对于登月舱，根据万有引力等于向心力，则得：
F_引=G

(r月+r)2

能绕月球做圆周运动，所以向心力的大小为
F_向=m（r_月+r）(

2π

)2
因为 F_引=F_向，所以得：G

(r月+r)2

=m（r_月+r）(

2π

)2r
得：M=

4π2(r月+r)3

GT2

将已知的数据代入上式，可得月球的质量
M=

4×3.142×(1.7×106+112×103)3

6.67×10-11×(120.5×60)2

kg=6.73×10²²kg
答：月球的质量为6.73×10²²kg．

举一反三

物体在地面上受重力160N，将它置于卫星中，当卫星在以加速度a=

匀加速上升到某高度处，物体与卫星中水平支持物相互挤压的力为90N，求此时卫星离地心的距离．（重力加速度g取10m/s²，地球半径R取6.4×10³km）

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已知引力常量G=6.67×10^-11N•m²/kg²，地球表面重力加速度g=9.8m/s²，地球半径R=6.4×10⁶m，则可知地球质量的数量级是（　　）

A．10²⁰kg

B．10²⁴kg

C．10²⁸kg

D．10³⁰kg

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在22世纪末，一宇航员乘宇宙飞船到达一半径为r的某星球地面，（该星球地面的重力加速度g未知）．他将所带的一个如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率从半圆管下入口处进入管内，测得A通过最高点C后，从C点平抛飞落到水平面上耗时为T．测得B通过最高点C时，对管壁上下部的压力均为0，还测得A、B两球落地点间的水平距离差为4R，且A球射出C点时的速度v_A大于B球射出C点时的速度v_B，已知万有引力恒量为G，忽略该星球的自转，球的体积公式为V=

πr³．求：
（1）该星球地面的重力加速度g；
（2）该星球的密度ρ；
（3）A通过最高点C时，管壁上部对A的压力为多大？

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把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周，由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得（　　）

A．火星和地球的质量之比

B．火星和太阳的质量之比

C．火星和地球绕太阳公转轨道半径之比

D．火星和地球绕太阳运行速度大小之比

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天文学家经过用天文望远镜的长期观测，在宇宙中发现了许多“双星”系统，所谓“双星”系统是指由两个星体组成的天体系统．其中每个星体的线度均远小于两个星体之间的距离．根据对“双星”系统的光学测量确定，这两个星体中的每一星体均在绕二者连线上的某一点做匀速圆周运动，星体到该点的距离与星体的质量成反比，一般双星系统与其他星体距离很远，除去双星系统中两个星体之间的相互作用的万有引力外，双星系统所受其他天体的引力均可忽略不计．根据对一“双星”系统的光学测量确定，此双星系统中每个星体的质量均为m，两者之间的距离为L．
（1）根据天体力学理论计算该双星系统的运动周期T₀；
（2）若观测到的该双星系统的实际运动周期为T，且有T₀：T=

：1（N＞1），为了解释T与T₀之间的差异，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在着一种用望远镜观测不到的“暗物质”．作为一种简化的模型，我们假定认为在以这两个星体的连线为直径的球体内部均匀分布着这种暗物质，若不再考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型理论和上述的观测结果，确定该双星系统中的这种暗物的密度．

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