如图Rt△ABC中，∠C=90°，AC∶CB=1∶3，且E、D是CB的三等分点。求证：∠1+ ∠2=45°。

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如图Rt△ABC中，∠C=90°，AC∶CB=1∶3，且E、D是CB的三等分点。
求证：∠1+ ∠2=45°。

答案

证明：设AC=x ，则BC=3x ；
∵E 、D 是CB 的三等分点，
∴EC=DE=BD=AC=x ；
∴△ACE 是等腰直角三角形，
即∠AEC=45 °；
Rt △ACE 中，AC=EC=x ，则AE=

；
∴AE2=EDEB=2x2 ；
又∵∠AED= ∠BEA ，
∴△AED ∽△BEA；
∴∠EAD= ∠1；
∵∠AEC= ∠2+ ∠EAD=45°，
∴∠1+ ∠2=45°。

举一反三

如果两个相似三角形的面积比是1：2，那么它们的周长比是[ ]
A．

B．

C．

D．

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如图，平行四边形ABCD中，E是AD上一点，且AE：ED=1：3，BE与AC交于点F，AC=10，则AF=（）。

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如图所示，AD是直角三角形ABC斜边上的高，DE⊥DF且DE和DF分别交AB、AC于E、F。求证：

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锐角△ABC中，BC=6，S_△ABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△_ABC公共部分的面积为y（y＞0 ）

（1）△ABC中边BC上高AD=________；
（2）当x=_______时，PQ恰好落在边BC 上（如图1 ）；
（3）当PQ在△ABC外部时（如图2 ），求y关于x的函数关系式（注明x的取值范围），并求出x为何值时y最大，最大值是多少？

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如果两个相似三角形对应高之比是9：16，那么它们的对应周长之比是[ ]
A．3：4
B．4：3
C．9：16
D．16：9

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