2008年12月,天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系.研究发现,有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动,其轨道半

2008年12月,天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系.研究发现,有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动,其轨道半

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2008年12月,天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系.研究发现,有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动,其轨道半长轴为9.50×102天文单位(地球公转轨道的半径为一个天文单位),人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上.观测得到S2星的运行周期为15.2年.
(1)若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50×102天文单位的圆轨道,试估算人马座A*的质量MA是太阳质量Ms的多少倍(结果保留一位有效数字);
(2)黑洞的第二宇宙速度极大,处于黑洞表面的粒子即使以光速运动,其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚.由于引力的作用,黑洞表面处质量为m的粒子具有势能为Ep=-G
Mm
R
(设粒子在离黑洞无限远处的势能为零),式中M、R分别表示黑洞的质量和半径.已知引力常量G=6.7×10-11N•m2/kg2,光速c=3.0×108m/s,太阳质量Ms=2.0×1030kg,太阳半径Rs=7.0×108m,不考虑相对论效应,利用上问结果,在经典力学范围内求人马座A*的半径RA与太阳半径Rg之比应小于多少(结果按四舍五入保留整数).
答案
(1)S2星绕人马座A*做圆周运动的向心力由人马座A*对S2星的万有引力提供,设S2星的质量为mS2,角速度为ω,周期为T,则G
MAmS2
r2
=mS2ω2r ①
ω=
T

设地球质量为mE,公转轨道半径为rE,周期为TE,研究地球绕太阳做圆周运动,根据万有引力提供向心力则
G
MSmE
r2E
=mEω2rE
综合上述三式得
MA
MS
=(
r
rE
)
3
(
TE
T
)
2

式中  TE=1年,rE=1天文单位,
代入数据可得
MA
MS
=4×106
(2)引力对粒子作用不到的地方即为无限远,此时粒子的势能为零.“处于黑洞表面的粒子即使以光速运动,其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”,说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功,粒子在到达无限远之前,其动能便减小为零,此时势能仍为负值,则其能量总和小于零,则有
1
2
mc2-G
Mm
R
<0  ④
依题意可知R=RA,M=MA
可得RA
2GMA
c2
  ⑤
代入数据得RA<1.2×1010 m
所以:
RA
RS
<17 
答:(1)人马座A*的质量MA是太阳质量Ms的4×106倍,
(2)在经典力学范围内求人马座A*的半径RA与太阳半径Rg之比应小于17.
举一反三
已知地球的食量大约是M=6.0×1024kg,地球半径为R=6370km,地球表面的重力加速度g=9.8m/s2.求:
(1)地球表面一质量为10kg物体受到的万有引力;
(2)地球表面一质量为10kg物体受到的重力;
(3)比较万有引力和重力的大小.
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已知月球的质量是7.3×1022kg,半径是1.7×103km,月球表面的自由落体加速度有多大?(G=6.67×10-11N•m2/kg2
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某颗人造地球卫星在距地面高度为h的圆形轨道上绕地球飞行,其运动可视为匀速圆周运动.已知地球半径为R,地面附近的重力加速度为g.求卫星在圆形轨道上运行速度的表达式和运行周期的表达式.
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为了验证地面上物体的重力与地球吸引月球、太阳吸引行星的力是否为同一性质的力,遵循同样的规律,牛顿曾经做过著名的月-地检验,其基本想法是:如果重力和星体间的引力是同一性质的力,都与距离的______关系,因为月心到地心的距离是地球半径的60倍,那么月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度就应该是地面重力加速度的______倍,牛顿通过计算证明他的想法是正确的.
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