两根长直轨道与一半径为R的半圆型圆弧轨道相接于A、C两点，B点为轨道最低点，O为圆心，轨道各处光滑且固定在竖直平面内．质量均为m的两小环P、Q用长为2R的轻杆连

题型：不详难度：来源：

两根长直轨道与一半径为R的半圆型圆弧轨道相接于A、C两点，B点为轨道最低点，O为圆心，轨道各处光滑且固定在竖直平面内．质量均为m的两小环P、Q用长为

2

R的轻杆连接在一起，套在轨道上．将MN两环从距离地面2R处由静止释放，整个过程中轻杆和轨道始终不接触，重力加速度为g，求：
（1）当P环运动到B点时，系统减少的重力势能△E_P；
（2）当P环运动到B点时的速度v；
（3）在运动过程中，P环能达到的最大速度v_m；
（4）若将杆换成长2

2

R，P环仍从原处由静止释放，经过半圆型底部再次上升后，P环能达到的最大高度H．

答案

（1）当P环运动到B点时，系统减少的重力势能 △Ep=WGM+WGN=mg2R+mg(1+

2

)R=(3+

2

)mgR
（2）P、Q都进入圆轨道后，两环具有相同角速度，则两环速度大小一定相等
整体的机械能守恒，则有：△E_P=△E_K
则得  (3+

2

)mgR=

1

2

2mv2
得到 v=

(3+ 2 )gR

（3）当系统质心下降到最低处时，系统达到的速度最大，此时MN离O点竖直高度为

2

2

R
则有  (1+

2

2

)mgR+(

2

+1+

2

2

)=

1

2

2mvm2
得到 v=

(2+2 2 )gR

（4）由于杆超过了半圆直径，所以两环运动如图．



M再次上升后，设位置比原来高h，如图所示．
由机械能守恒：-mgh+mg（2

2

R-2R-h）=0 
解得h=(

2

-1)R，
P环能达到的最大高度H=(

2

+1)R
答：
（1）当P环运动到B点时，系统减少的重力势能△E_P是（3+

2

）mgR．
（2）当P环运动到B点时的速度v是

(3+ 2 )gR

．
（3）在运动过程中，P环能达到的最大速度v_m是

(2+2 2 )gR

．
（4）若将杆换成长2

2

R，P环仍从原处由静止释放，经过半圆型底部再次上升后，P环能达到的最大高度H是（

2

+1）R．