一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad长为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一速度方向与ad边夹角为30

题型：不详难度：来源：

一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad长为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°、大小为v₀的带正电粒子，如图所示．已知粒子电荷量为q，质量为m（重力不计）：
（1）若要求粒子能从ab边射出磁场，v₀应满足什么条件？
（2）若要求粒子在磁场中运动的时间最长，粒子应从哪一条边界处射出？最长时间是多少？出射点位于该边界上何处？

答案

（1）粒子带正电，粒子运动的轨迹如图所示，当粒子的速度大于与R₁相对应的速度v₁时，粒子将恰好不从dc边射出．
由几何关系可得：R₁=L…①
由洛仑兹力和向心力公式可得：qv₁B=m

v12

R1

…②
当粒子的速度小于与R₂相对应的速度v₂时，粒子将从ad边射出．
由几何关系可得：R₂+R₂sin30°=

1

2

L…③
由③式解得：R₂=

1

3

L…④
由洛仑兹力和向心力公式可得：qv₂B=m

v22

R2

…⑤
将①④式分别代入②⑤式可解得v₁=

qBL

m

，v₂=

qBL

3m

所以v₀的取值范围是

qBL

3m

＜v₀≤

qBL

m

．
（2）若粒子在磁场中运动的时间最长，其对应的圆周运动的圆心角必然最大，在答图中，当粒子的速度小于v₂时，粒子从ad边的不同位置射出时，其半径虽不同，但圆心角的夹角都是

5

6

×2π，所以粒子在磁场中的运动时间也是

5

6

T，此即粒子在磁场中运动的最长时间．
粒子运动的周期：T=

2πR

v

=

2πm

qB

所以粒子运动的最长时间为：t=

5

6

T=

5πm

3qB

.

OP

=2R₂sin30°=R₂=

1

3

L
即：粒子将从O点上方的

1

3

L的范围射出磁场．
答：（1）若要求粒子能从ab边射出磁场，v₀应满足

qBL

3m

＜v₀≤

qBL

m

．
（2）若要求粒子在磁场中运动的时间最长，粒子应从ad边界处射出，最长时间是

5πm

3qB

，
出射点位于该边界上O点上方

1

3

L处．