宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到原来的2倍，则抛出点

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宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为

L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G。求该星球的质量M。

答案

解：如图所示，设抛出点的高度为h，第一次时平抛的水平射程为x，则有x²＋h²＝L² ①

由平抛运动的规律可知，当抛出的初速度增大到原来的2倍时，其水平射程应增大到2x，可得(2x)²＋h²＝(

L)² ②
由①②解得：h＝

L
设该星球表面的重力加速度为g，由平抛规律可得h＝

gt² ③
又因为

＝mg ④
由③④得M＝

举一反三

天宫一号于2011年9月29日21时16分3秒在酒泉卫星发射中心发射，设计在轨寿命两年。在轨运动可近似看做匀速圆周运动，已知它的轨道半径为r，运行周期为T，万有引力恒量为G，则它的线速度大小为________，地球的质量可表示为________。

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美国国家科学基金会2010年9月29日宣布，天文学家发现一颗迄今为止与地球最类似的行星，该行星绕太阳系外的红矮星Gliese581做匀速圆周运动。这颗行星距离地球约20光年，公转周期约为37天，它的半径大约是地球的1.9倍，表面重力加速度与地球相近。下列说法正确的是[ ]
A. 该行星的公转角速度比地球大
B. 该行星的质量约为地球质量的3.61倍
C. 该行星第一宇宙速度为7.9km/s
D. 要在地球上发射航天器到达该星球，发射速度只需达到地球的第二宇宙速度即可

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一宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定在O点，如图甲所示，在最低点给小球一初速度，使其绕O点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F随时间t的变化规律如图乙所示。若F₁的大小等于7F₂，且设R，m，引力常量为G，F₁为已知量，忽略各种阻力，则以下说法正确的是

[ ]
A．该星球表面的重力加速度为

B．卫星绕该星球的第一宇宙速度为

C．星球的质量为

D．小球通过最高点的最小速度为零

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到目前为止，火星是除了地球以外人类了解最多的行星，已经有超过30枚探测器到达过火星，并发回了大量数据。如果已知万有引力常量为G，根据下列测量数据，能够得出火星密度的是[ ]
A. 发射一颗绕火星做匀速圆周运动的卫星，测出卫星的轨道半径r和卫星的周期T
B. 测出火星绕太阳做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r
C. 发射一颗贴近火星表面绕火星做匀速圆周运动的飞船，测出飞船运行的速度v
D. 发射一颗贴近火星表面绕火星做匀速圆周运动的飞船，测出飞船运行的角速度ω

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如图为宇宙中有一个恒星系的示意图，A为该星系的一颗星，它绕中央恒星O运动轨道近似为圆，天文学家观测得到A行星运动的轨道半径为R₀，周期为T₀。
(1)中央恒星O的质量是多大?
(2)长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t₀时间发生一次最大的偏离，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B(假设其运行轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同)，它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离．根据上述现象及假设，预测未知行星B绕中央恒星O运行轨道半径有多大?

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