某仪器用电场和磁场来控制电子在材料表面上方的运动．如图所示，材料表面上方矩形区域PP"N"N充满竖直向下的匀强电场，宽为d；矩形区域NN′M′M充满垂直纸面向里

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某仪器用电场和磁场来控制电子在材料表面上方的运动．如图所示，材料表面上方矩形区域PP"N"N充满竖直向下的匀强电场，宽为d；矩形区域NN′M′M充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，长为3s，宽为s；NN"为磁场与电场之间的薄隔离层．一个电荷量为e、质量为m、初速为零的电子，从P点开始被电场加速经隔离层垂直进入磁场，电子每次穿越隔离层，运动方向不变，其动能损失是每次穿越前动能的10%，最后电子仅能从磁场边界M"N"飞出．不计电子所受重力．
（1）求电子第二次与第一次圆周运动半径之比；
（2）求电场强度的取值范围；
（3）A是M′N′的中点，若要使电子在A、M′间垂直于AM′飞出，求电子在磁场区域中运动的时间．

答案

（1）设圆周运动的半径分别为R₁、R₂、…R_n、R_n+1…，第一和第二次圆周运动速率分别为v₁和v₂，
动能分别为E_k1和E_k2
由：E_k2=0.81E_k1
R₁=

mv1

Be

，R₂=

mv2

Be

E_k1=

1

2

mv₁²，E_k2=

1

2

mv₂²
得：R₂：R₁=0.9：1
（2）设电场强度为E，第一次到达隔离层前的速率为v′，根据能量关系有：
eEd=

1

2

mv′2
0.9×

1

2

mv′2=

1

2

m

v

21

R₁≤s
得：E≤

5B2es2

9md

又由：R_n=0.9^n-1R₁
2R₁（1+0.9+0.9²+…+0.9ⁿ+…）=3s
得：E＞

B2es2

80md

电场强度的取值范围为

B2es2

80md

＜E≤

5B2es2

9md

（3）设电子在匀强磁场中，圆周运动的周期为，运动的半圆周个数为n，运动总时间为t
由题意，有：

2R1(1-0.9n)

1-0.9

+Rn+1=3s
R₁≤s
R_n+1=0.9ⁿR₁
R_n+1≥

s

2

得：n=2
由题意知，电子在磁场中做了2个半圆和一个

1

4

圆，
由：T=

2πm

eB

得：t=2×

1

2

T+

1

4

T=

5πm

2eB

答：（1）电子第二次与第一次圆周运动半径之比是0.9：1．
（2）电场强度的取值范围是

B2es2

80md

＜E≤

5B2es2

9md

（3）电子在磁场区域中运动的时间是

5πm

2eB