如图甲所示，静电除尘装置中有一长为L、宽为b、高为d的矩形通道，其前、后面板使用绝缘材料，上、下面板使用金属材料．图乙是装置的截面图，上、下两板与电压恒定的高压

题型：浙江难度：来源：

如图甲所示，静电除尘装置中有一长为L、宽为b、高为d的矩形通道，其前、后面板使用绝缘材料，上、下面板使用金属材料．图乙是装置的截面图，上、下两板与电压恒定的高压直流电源相连．质量为m、电荷量为-q、分布均匀的尘埃以水平速度v₀进入矩形通道，当带负电的尘埃碰到下板后其所带电荷被中和，同时被收集．通过调整两板间距d可以改变收集效率η．当d=d₀时η为81%（即离下板0.81d₀范围内的尘埃能够被收集）．不计尘埃的重力及尘埃之间的相互作用．
（1）求收集效率为100%时，两板间距的最大值d_m；
（2）求收集率η与两板间距d的函数关系；
（3）若单位体积内的尘埃数为n，求稳定工作时单位时间下板收集的尘埃质量

△M

△t

与两板间距d的函数关系，并绘出图线．

答案

（1）收集效率η为81%，即离下板0.81d₀的尘埃恰好到达下板的右端边缘，设高压电源的电压为U，在水平方向有：
L=v₀t…①
在竖直方向有：
0.81d0=

1

2

at2…②
其中：a=

F

m

=

qE

m

=

qU

md0

…③
当减少两板间距时，能够增大电场强度，提高装置对尘埃的收集效率．收集效率恰好为100%时，两板间距为d_m．如果进一步减少d，收集效率仍为100%．
因此，在水平方向有L=v₀t…④
在竖直方向有dm=

1

2

a′t2…⑤
其中a′=

F′

m

=

qE′

m

=

qU

mdm

…⑥
联立①②③④⑤⑥可得d_m=0.9d_0…⑦
（2）通过前面的求解可知，当d≤0.9d₀时，收集效率η为100% 当d＞0.9d₀时，设距下板x处的尘埃恰好到达下板的右端边缘，此时有x=

1

2

qU

md

(

L

v0

)2…⑧
根据题意，收集效率为η=

x

d

…⑨


联立①②③⑧⑨可得η=0.81(

d0

d

)2
（3）稳定工作时单位时间下板收集的尘埃质量

△M

△t

=ηnmbdv₀
当d≤0.9d₀时，η=1，因此

△M

△t

=nmbdv₀
当d＞0.9d₀时，η=0.81(

d0

d

)2，因此

△M

△t

=0.81nmbv0

d 20

d

绘出的图线如图．
答：（1）收集效率为100%时，两板间距的最大值为0.9d₀
（2）收集率η与两板间距d的函数关系为η=0.81(

d0

d

)2
（3）尘埃质量

△M

△t

与两板间距d的函数关系为当d≤0.9d₀时，

△M

△t

=nmbdv₀，当d＞0.9d₀时，

△M

△t

=0.81nmbv0

d 20

d

．