如图甲所示，长方形金属框abcd（下面简称方框）。各边长度为ac=bd=1/2、ab=cd=l，方框外侧套着一个内侧壁长分别为l/2及t的u形金属框架MNPQ（

题型：北京期末题难度：来源：

如图甲所示，长方形金属框abcd（下面简称方框）。各边长度为ac=bd=1/2、ab=cd=l，方框外侧套着一个内侧壁长分别为l/2及t的u形金属框架MNPQ（下面简称U形框），U形框与方框之间接触良好且无摩擦。两个金属框的质量均为m，PQ边、ab边和cd边的电阻均为r，其余各边电阻可忽略不计，将两个金属框放在静止在水平地面上的矩形粗糙平面上，将平面的一端缓慢抬起，直到这两个金属框都恰能在此平面上匀速下滑，这时平面与地面的夹角为θ，此时将平面固定构成一个倾角为θ的斜面，已知两框与斜面间的最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，在斜面上有两条与斜面底边垂直的、电阻可忽略不计，且足够长的光滑金属轨道，两轨道间的宽度略大于l，使两轨道能与U形框保持良好接触，在轨道上端接有电压传感器并与计算机相连，如图乙所示，在轨道所在空间存在垂直于轨道平面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。
（1）若将方框固定不动，用与斜面平行，且垂直PQ边向下的力拉动U形框，使它匀速向下运动，在U形框与方框分离之前，计算机上显示的电压为恒定电压U_o，求U形框向下运动的速度；
（2）若方框开始时静止但不固定在斜面上，给U形框垂直PQ边沿斜面向下的初速度v₀，如果U形框与方框能不分离而一起运动，求在这一过程中电流通过方框产生的焦耳热；
（3）若方框开始时静止但不固定在斜面上，给U形框垂直PQ边沿斜面向下的初速度3v₀，U形框与方框将会分离，求在二者分离之前U形框速度减小到2v₀时，方框的加速度。
注：两个电动势均为E、内阻均为r的直流电源，若并联在一起，可等效为电动势仍为E，内电阻为r/2的电源；若串联在一起，可等效为电动势为2E，内电阻为2r 的电源。

答案

解：（1）当U形框以速度v运动时，在与方框分离之前，方框ab边和cd边为外电路，PQ边为电源，它产生的感应电动势E=Blv
内电路电阻为r，外电路电阻为0.5r，
，解得。
（2）由于两金属框在斜面上恰能匀速下滑，所以沿斜面方向两个金属框所受合力为零，因此两个金属框组成的系统沿斜面方向动量守恒。
设两个金属框一起运动的共同速度为v₁，则mv₀=2mv₁，解得，两个框产生的焦耳热，设方框产生的焦耳热为Q_方
则解得。
（3）设U形框速度为2v₀时，方框的速度为v₂，两框组成的系统沿斜面方向动量守恒，
则3mv₀=2mv₀+mv₂，解得v₂=v₀
框组成回路的总电动势E_总=2Blv₀ -Blv₀=Blv₀
两框组成回路中的电流
方框受到的安培力即为合外力，
根据牛顿第二定律解得此时方框的加速度。