已知a、b为常数,且a≠0,y=f(x)=ax2+bx,且f(2)=0,并使方程f(x)=x有等根, (1)求f(x)的解析式 (2)是否存在实数m、n,(m<n)使f(x)的定义域和值域分别为[m,
题目
已知a、b为常数,且a≠0,y=f(x)=ax2+bx,且f(2)=0,并使方程f(x)=x有等根,
(1)求f(x)的解析式
(2)是否存在实数m、n,(m<n)使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n]?
答案
(1)∵方程ax
2+bx-x=0有等根,∴△=(b-1)
2=0,得b=1.
∵f(2)=0,∴
a=−,∴f(x)的解析式为
f(X)=−(x−1)2+;
(2)∵
f(X)=−(x−1)2+≤,∴
2n≤,∴
n≤,∴f(x)在[m,n]上单调递增,
若满足题设条件的m,n存在,则
,∴
即这时定义域为[-2,0],值域为[-4,0].
由以上知满足条件的m,n存在,m=-2,n=0.
(1)由于方程f(x)=x有等根,所以可求b=1,利用f(2)=0可求a=−12,故函数解析式可求;(2)利用函数的最大值可知f(x)在[m,n]上单调递增,从而可建立方程组,故满足条件的m,n存在.
函数与方程的综合运用;函数的定义域及其求法;函数的值域;函数解析式的求解及常用方法.
本题主要考查函数与方程的综合运用,还考查了二次函数解析式的运用以,涉及分类讨论,转化思想.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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