利用不等式求最值：求a/（b+c）+4b/（a+c）+5c/（a+b）的最小值,abc均大于0

题目

利用不等式求最值：求a/（b+c）+4b/（a+c）+5c/（a+b）的最小值,abc均大于0
求a/（b+c）+4b/（a+c）+5c/（a+b）的最小值.abc均大于0

答案

a/（b+c）+4b/（a+c）+5c/（a+b）
=a/（b+c）+1+4b/（a+c）+4+5c/（a+b）+5-10
=（a+b+c)/(b+c)+4(a+b+c)/(a+c)+5(a+b+c)/(a+b)-10
=(a+b+c)(1/(b+c)+4/(a+c)+5/(a+b))-10
=1/2*(b+c+a+c+a+b)(1/(b+c)+4/(a+c)+5/(a+b))-10
利用柯西不等式（或者自己证明（x+y+z)(1/x+4/y+5/z)>(1+2+sqrt(5))^2,展开即可）有上式>=1/2*(1+2+sqrt(5))^2-10=3sqrt(5)-3
当且仅当a/(sqrt(5)/10-1/4)=b/(sqrt(5)/10+1/4)=c/(3/4-sqrt(5)/10)
故最小值为3sqrt(5)-3
sqrt(5)表示5开根号