如何证明数列X1=2,Xn+1=1/2（Xn+1/Xn）的极限存在?说个思路也可以..

题目

如何证明数列X1=2,Xn+1=1/2（Xn+1/Xn）的极限存在?说个思路也可以..

答案

先用数学归纳法证明对一切 n∈ N* ,都有 Xn＞1
然后,在原始等式中,两边同时减去Xn,右侧通分,
得到 X(n+1)－Xn＝(1－Xn)(1＋Xn) / 2Xn
由于第一步已经证明了Xn＞1,那么等式右边的三个因子,有两个是正的,有一个是负的,
所以右边＜0,那么左边也＜0,也就是 X(n+1)－Xn＜0,即X(n+1)＜Xn 这说明它单调递减,
而前面已经证明了 Xn＞1 说明它有下界
那么,Xn的极限存在.令lim Xn＝A,则 lim X(n＋1)也为A,等式两边同时取极限,解一个关于A的方程,就可以求出极限A,如果有多个解,根据极限的保号性,应取正值