数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1) (1)求{an}的通项公式; (2)等差数列{bn}的各项为正,其前n项和为Tn,且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3
题目
数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1)
(1)求{an}的通项公式;
(2)等差数列{bn}的各项为正,其前n项和为Tn,且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,求Tn.
答案
(1)因为a
n+1=2S
n+1,…①
所以a
n=2S
n-1+1(n≥2),…②
所以①②两式相减得a
n+1-a
n=2a
n,即a
n+1=3a
n(n≥2)
又因为a
2=2S
1+1=3,
所以a
2=3a
1,
故{a
n}是首项为1,公比为3的等比数列
∴a
n=3
n-1.
(2)设{b
n}的公差为d,由T
3=15得,可得b
1+b
2+b
3=15,可得b
2=5,
故可设b
1=5-d,b
3=5+d,
又因为a
1=1,a
2=3,a
3=9,并且a
1+b
1,a
2+b
2,a
3+b
3成等比数列,
所以可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)
2,
解得d
1=2,d
2=-10
∵等差数列{b
n}的各项为正,
∴d>0,
∴d=2,
∴
Tn=3n+×2=n2+2n
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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