已知函数f(x)=-1/3x^3+x^2+ax+b(a,b∈R),若函数f(x)在其图像上任意一点(x0,f(x0))处切线的斜率都小于2a^,求a的取值范围
题目
已知函数f(x)=-1/3x^3+x^2+ax+b(a,b∈R),若函数f(x)在其图像上任意一点(x0,f(x0))处切线的斜率都小于2a^,求a的取值范围
答案
先求导,得f'(x)=-x^2+2x+a
然后用待定系数法,
f'(x)=-x^2+2x+a<2a^2
f'(x)=-x^2+2x<2a^2-a
设y=-x^2+2x,求出Y的最大值为1
∴ 2a^2-a>1
得 2(a-1)(a+1/2)>0
∴a<-1/2或a>1
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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