如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠ACD=120°，BD=10． （1）求证：CA=CD； （2）求⊙O的半径．

题目

如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠ACD=120°，BD=10．

（1）求证：CA=CD；
（2）求⊙O的半径．

答案

（1）证明：连接OC．
∵DC切⊙O于点C，
∴∠OCD=90°．
又∵∠ACD=120°，
∴∠ACO=∠ACD-∠OCD=120°-90°=30°．
∵OC=OA，
∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠COD=60°．
∴∠D=30°，
∴CA=DC．
（2）∵sin∠D=

OC

OD

=

OC

OB+BD

=

OB

OB+BD

，
sin∠D=sin30°=

1

2

，
∴

OB

OB+10

=

1

2

．
解得OB=10．
即⊙O的半径为10．