已知数列｛Xn｝满足x1=1/2,xn+1=1/(1+xn),n∈N+,猜想数列｛X2n｝的单调性,并证明你的结论

题目

已知数列｛Xn｝满足x1=1/2,xn+1=1/(1+xn),n∈N+,猜想数列｛X2n｝的单调性,并证明你的结论

答案

由题意可以xn为分式,不妨设xn=an/bn,且an,bn互质,
可知 x1=1/2,x2=2/3,x3=3/5,x4=5/8,x5=8/13,x6=13/21……
即a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8,a6=13,……
b1=2,b2=3,b3=5,b4=8,b5=13,b6=21,……
bn=an+1
所以xn=an/an+1)
an+2=an+1+an
在数列{X2n}中
X2n-X2(n-1)=a2n/a2n+1-a2n-2/a2n=（a2n*a2n-a2n+1*a2n-2）/(a2n+1*a2n)
分母为正数,为了书写方便,先舍去,只计算分子
a2n*a2n-a2n+1*a2n-2=（a2n-1+a2n-2）^2-(a2n-2+2a2n-1)*(a2n-2)=(a2n-1)
^2>0
所以 X2n-X2(n-1)＞0,数列{X2n}为增函数