a为有理数,x为无理数,求证:a+x为无理数.

题目

a为有理数,x为无理数,求证:a+x为无理数.

答案

这道题要用反证法
首先要明白有理数的定义,有理数包括整数和分数,也就是是说只要是有理数,就一定可以写成a/b的形式,其中a、b为整数.
下面开始证明：
证明：
假设a+x为有理数
则设a+x=c/b (c、b为整数)
同理令a=e/f (e、f为整数)
则bf(a+x)是整数
分解因式 bfa+bfx
=be+bfx
则说明be+bfx为整数
be显然是整数
则说明bfx是整数
但bf是整数,x是无理数,整数*无理数不可能为整数(如果能,则可以写成a/b的形式,就是有理数了)
所以be+bfx不为整数,与假设矛盾
所以a+x为无理数