在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,AB=PD=a,PA=PC=2a. (Ⅰ)求证:PD⊥平面ABCD; (Ⅱ)求异面直线PB与AC所成的角; (Ⅲ)求二面角A-PB-D的大小.

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,AB=PD=a,PA=PC=2a. (Ⅰ)求证:PD⊥平面ABCD; (Ⅱ)求异面直线PB与AC所成的角; (Ⅲ)求二面角A-PB-D的大小.

题目
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,AB=PD=a,PA=PC=
2
a.

(Ⅰ)求证:PD⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线PB与AC所成的角;
(Ⅲ)求二面角A-PB-D的大小.
答案
(1)PC=
2
a
,PD=DC=a,∴△PDC是Rt△,且PD⊥DC,
同理PD⊥AD,又AD∩DC=D,∴PD⊥平面ABCD.
(2)连BD,因ABCD是正方形,∴BD⊥AC,又PD⊥平面ABCD.
BD是PB在面ABCD上的射影,由三垂线定理得PB⊥AC,∴PB与AC成90°角.
(3)设AC∩BD=O,作AE⊥PB于E,连OE,
∵AC⊥BD,又PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴PD⊥AC,
又PD∩BD=D,∴AC⊥平面PDB,则OE是AE在平面PDB上的射影.
由三垂线定理逆定理知OE⊥PB,∴∠AEO是二面角A-PB-D的平面角.
又AB=a,PA=
2
a
,PB=
3
a
,∵PD⊥平面ABCD,DA⊥AB,
∴PA⊥AB,在Rt△PAB中,AE•PB=PA•AB.∴AE=
2
3
a
,又AO=
2
2
a

∴sinAEO=
3
2
,∠AEO=60°,二面角A-PB-D的大小为60°.
(1)通过计算证明AD⊥PD.PD⊥CD.然后利用线面垂直的判定可证证明PD⊥平面ABCD
(2)连BD,因ABCD是正方形,根据BD⊥AC,PD⊥平面ABCD.由三垂线定理得PB⊥AC,从而可求PB与AC所成的角.
(3)取AP中点E,过E作EF⊥PB,垂足为F,∠DFE为所求,通过解三角形求出∠DFE=60°.

与二面角有关的立体几何综合题;异面直线及其所成的角;直线与平面垂直的判定.

本题以四棱锥为载体,考查空间线面关系、二面角的度量等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力,是中档题.

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