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(1)PC=
a,PD=DC=a,∴△PDC是Rt△,且PD⊥DC,
同理PD⊥AD,又AD∩DC=D,∴PD⊥平面ABCD.
(2)连BD,因ABCD是正方形,∴BD⊥AC,又PD⊥平面ABCD.
BD是PB在面ABCD上的射影,由三垂线定理得PB⊥AC,∴PB与AC成90°角.
(3)设AC∩BD=O,作AE⊥PB于E,连OE,
∵AC⊥BD,又PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴PD⊥AC,
又PD∩BD=D,∴AC⊥平面PDB,则OE是AE在平面PDB上的射影.
由三垂线定理逆定理知OE⊥PB,∴∠AEO是二面角A-PB-D的平面角.
又AB=a,PA=
a,PB=
a,∵PD⊥平面ABCD,DA⊥AB,
∴PA⊥AB,在Rt△PAB中,AE•PB=PA•AB.∴AE=
a,又AO=
a∴sinAEO=
,∠AEO=60°,二面角A-PB-D的大小为60°.
与二面角有关的立体几何综合题;异面直线及其所成的角;直线与平面垂直的判定.
本题以四棱锥为载体,考查空间线面关系、二面角的度量等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力,是中档题.