在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AB=PD=a，PA=PC=2a． （Ⅰ）求证：PD⊥平面ABCD； （Ⅱ）求异面直线PB与AC所成的角； （Ⅲ）求二面角A-PB-D的大小．

题目

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AB=PD=a，PA=PC=

2

a．

（Ⅰ）求证：PD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PB与AC所成的角；
（Ⅲ）求二面角A-PB-D的大小．

答案

（1）PC=

2

a，PD=DC=a，∴△PDC是Rt△，且PD⊥DC，
同理PD⊥AD，又AD∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD．
（2）连BD，因ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又PD⊥平面ABCD．
BD是PB在面ABCD上的射影，由三垂线定理得PB⊥AC，∴PB与AC成90°角．
（3）设AC∩BD=O，作AE⊥PB于E，连OE，
∵AC⊥BD，又PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，
又PD∩BD=D，∴AC⊥平面PDB，则OE是AE在平面PDB上的射影．
由三垂线定理逆定理知OE⊥PB，∴∠AEO是二面角A-PB-D的平面角．
又AB=a，PA=

2

a，PB=

3

a，∵PD⊥平面ABCD，DA⊥AB，
∴PA⊥AB，在Rt△PAB中，AE•PB=PA•AB．∴AE=

2

3

a，又AO=

2

2

a
∴sinAEO=

3

2

，∠AEO=60°，二面角A-PB-D的大小为60°．

（1）通过计算证明AD⊥PD．PD⊥CD．然后利用线面垂直的判定可证证明PD⊥平面ABCD
（2）连BD，因ABCD是正方形，根据BD⊥AC，PD⊥平面ABCD．由三垂线定理得PB⊥AC，从而可求PB与AC所成的角．
（3）取AP中点E，过E作EF⊥PB，垂足为F，∠DFE为所求，通过解三角形求出∠DFE=60°．

本题考点：与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．

考点点评：本题以四棱锥为载体，考查空间线面关系、二面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．