在证明极限的唯一性中,为什么要有N=max{N1,N2}这一步?另外,a-b的绝对值是什么意思?为什么要这样做?

题目

在证明极限的唯一性中,为什么要有N=max{N1,N2}这一步?另外,a-b的绝对值是什么意思?为什么要这样做?

答案

我先证一下,我没书,不一定与书上完全一致
设有两个极限,a,b,且b>a,取ε=(b-a)/2,
由极限定义存在N1>0,当n>N1时,有|xn-a|N1时成立,并不是对所有xn成立）
存在N2>0,当n>N2时,有|xn-b|N时（注意：因为N是N1和N2中较大的,此时n>N1和n>N2就同时成立了）
此时：|xn-a|