求关于x的方程7x²-（k+13）x+k²-k-2=0有满足0＜x1＜1＜x2＜2的两个实数根的充要条件.

题目

求关于x的方程7x²-（k+13）x+k²-k-2=0有满足0＜x1＜1＜x2＜2的两个实数根的充要条件.

答案

因为函数的二次项系数是大于0的,所以函数的图像时开口向上的
因为
0＜x1＜1＜x2＜2
所以函数在x=0的函数值是大于0的
在x=1处的函数值是小于0的
在x=2处的函数值是大于0的
所以有
k^2-k-2>0
7-(k+13)+k^2-k-2<0
28-2(k+13)+k^-k-2>0
化简得
k^2-k-2>0
k^2-2k-8<0
k^2-3k>0
解得
k^2-k-2>0
(k-2)(k+1)>0
所以 k>2 或x<-1
k^2-2k-8<0
(k-4)(k+2)<0
-2k^2-3k>0
k(k-3)>0
所以 k>3 或 k<0
取交集得
k的范围为 (-2,-1)∪(3,4)