在△ABC中，a、b、c为其三条边，试比较a2+b2+c2与2（ab+bc+ac）的大小．

题目

在△ABC中，a、b、c为其三条边，试比较a²+b²+c²与2（ab+bc+ac）的大小．

答案

证明：a²+b²+c²-2（ab+bc+ac）
=（a-b）²+c²-2c（a+b）
=（a+b）（a-b-2c）+c²；①
∵a、b、c为△ABC中的三边，
∴a+b＞c，又a-b-2c＜0，
∴（a+b）（a-b-2c）＜c（a-b-2c），
∴（a+b）（a-b-2c）+c²＜c（a-b-2c）+c²=ca-cb-c²=-c（b+c-a），②
∵b+c-a＞0，
∴-c（b+c-a）＜0，③
由①②③得：a²+b²+c²＜2（ab+bc+ac）．