如何证明在对称区间(-L,L)上的任何函数可以表示为一个偶函数与一个奇函数的和?
题目
如何证明在对称区间(-L,L)上的任何函数可以表示为一个偶函数与一个奇函数的和?
答案
设在对称区间(-L,L)上的函数为f(x)
f(x)=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(-x)]/2
设[f(x)+f(-x)]/2=g(x),
[f(x)-f(-x)]/2=h(x)
f(x)=g(x)+h(x)
可以知道:
g(x)是偶函数,h(x)是奇函数
则得证
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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