若不等式3x2+2x+2x2+x+1＞k对一切实数x恒成立，求k的取值范围．

题目

若不等式

3x2+2x+2

x2+x+1

＞k对一切实数x恒成立，求k的取值范围．

答案

∵x²+x+1＞0恒成立，
∴不等式恒成立，
则不等式等价为3x²+2x+2＞k（x²+x+1），
即（3-k）x²+（2-k）x+2-k＞0恒成立，
若k=3，则不等式等价为-x-1＞0，即x＜-1，不满足条件．
若k≠3，要使不等式恒成立，则满足

3−k＞0 △＝(2−k)2−4(3−k)(2−k)＜0

，
即

k＜3 (k−2)(3k−10)＞0

，
∴

k＜3 k＞ 10 3 或k＜2

，
即k＜2．

将不等式恒成立转化为一元二次不等式恒成立，利用判别式△＜0，即可得到结论．

本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题主要考查不等式恒成立问题，将不等式转化为一元二次不等式是解决本题的关键，注意讨论二次项系数是否为0．