已知方程(M+5)X2-(2M+5)X+4=0的两个根恰好是一直角三角形两个锐角的正弦值,则M=?

题目

已知方程(M+5)X2-(2M+5)X+4=0的两个根恰好是一直角三角形两个锐角的正弦值,则M=?

答案

直角三角形两个锐角的正弦值为a,b,
有：a^2+b^2=1
由韦达定理：a+b=(2m+5)/(m+5)
ab=4/(m+5)
代入1=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(2m+5)^2/(m+5)^2-8/(m+5)
即m^2+10m+25=4m^2+20m+25-8m-40
3m^2+2m-40=0
(3m-10)(m+4)=0
解得m=10/3,-4
当m=10/3时,两根符合
当m=-4时,方程无实根
因此只有：m=10/3.