设有一个质量为M的物体,自地面以初速度v向上发射,物体受到空气阻力f=-kv ,求物体的速度跟到最高点的时间

题目

设有一个质量为M的物体,自地面以初速度v向上发射,物体受到空气阻力f=-kv ,求物体的速度跟到最高点的时间

答案

为了不会混淆符号,我把原题目中的初速度 V ,改为 V0 .
分析：由题意　知,物体上升时,受到重力mg,空气阻力 f .
由牛二　得　－mg－KV＝m a　　　（以速度方向为正方向）
即　－（mg＋K V）＝m* dV / dt
m dV /（mg＋K V）＝－ dt
两边同时积分,得
∫m dV /（mg＋K V）＝－ ∫dt
得　（m / K）* ln（mg＋K V）＝－t ＋C
C是积分常数
由初始条件：t＝0 时,V＝V0　得　C＝（m / K）* ln（mg＋K* V0）
即　（m / K）* ln（mg＋K V）＝－t ＋（m / K）* ln（mg＋K* V0）
整理后,得　V＝｛[ (mg＋K* V0) * e^(-K t / m) ]－（mg）｝ / K
设上升的总时间是T,那么在上式中,当　t＝T　时,有　V＝0
即　0＝｛[ (mg＋K* V0) * e^(-K t / m) ]－（mg）｝ / K
得　T＝（m / K）* ln [（mg＋K* V0）/（mg）]