已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为 f(x,y)=2e^(-2x-y),x>0,y>0; f(x,y)=0(其他)

题目

已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为 f(x,y)=2e^(-2x-y),x>0,y>0; f(x,y)=0(其他)
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已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为
f(x,y)=2e^(-2x-y),x>0,y>0; f(x,y)=0(其他)
求(X,Y)落在区域D：x>=0,y>=0与x+y>=1内的概率

答案

P=∫(0-->1)e^(-y)dy∫(0-->1-y)2e^(-2x)dx
=∫(0-->1)e^(-y)(1-e^(2(1-y))dy
=∫(0-->1)(e^(-y)-e^2e^y)dy=(1-e)(1+e^2)