定积分 ln(cosx+2)dx 在0到pai 上的积分

题目

定积分 ln(cosx+2)dx 在0到pai 上的积分
如果分部注意 不是x * f(sinx) 形式
疑似结果为 pai/2 * ln3
如果设t=cosx+2，t-2=u,
ln(u+2) / sqrt.(1-u^2) du 在-1到1 如何积
如果直接分部
-x * sinx/(cosx+2)dx 在0到pai 如何积

答案

我是这样做的,还不知道是不是最后的结果,你看一下,
我是用含参量积分来做的:
令I=积分:(0,pai)ln(cosx+2)dx
I(a)=积分:(0,pai)ln(acosx+2)dx
I'(a)=积分:(0,pai)cosx/(acosx+2)dx
=1/a积分;(0,pai)[1-2/(acosx+2)]dx
=1/a*{x-4/根号(4-x^2)arctan[根号(2-a)/根号(2+a)*tan(x/2)]}|(0,pi)
=1/a*[pai-2pai/根号(4-a^2)]
I(a)=积分:I'(a)da
=积分:1/a*[pai-2pai/根号(4-a^2)]da
=pailna-pai[lna-ln(根号(4-a^2)+2)]
=pailn(根号(4-a^2)+2)+C
因为有:
I(0)=pailn2
所以C=-pailn2
令a=1,
得到:
I=pailn(2+根号3) -pailn2
不知道这个结果对不对?
感觉有点不对头...