已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且PF1⊥PF2,若△PF1F2的面积为9,则b的值为(  ) A.3 B.23 C.4 D.9

已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且PF1⊥PF2,若△PF1F2的面积为9,则b的值为(  ) A.3 B.23 C.4 D.9

题目
已知F1,F2是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且
PF1
PF2
,若△PF1F2的面积为9,则b的值为(  )
A. 3
B. 2
3

C. 4
D. 9
答案
|PF1| +|PF2| =2a,
|PF1|2+|PF2|2+2|PF1| |PF2| =4a2;①
PF1
PF2

|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,②
∴①-②得:2|PF1| |PF2| =4(a2-c2)=4b2
1
2
|PF1| |PF2| =b2
∵△PF1F2的面积为9,
SPF1F2=
1
2
|PF1| |PF2| =b2=9,b>0,
∴b=3.
故选A.
由椭圆的定义知|PF1| +|PF2| =2a①,依题意,|PF1|2+|PF2|2=4c2,②对①式两端平方后与②联立可得|PF1| |PF2| ,再由△PF1F2的面积为9,即可求得b的值.

椭圆的简单性质;数量积判断两个平面向量的垂直关系.

本题考查椭圆的简单性质,考查数量积判断两个平面向量的垂直关系,考查化归思想与运算能力,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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