要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20厘米,要使其体积最大,则其高应为(  )厘米. A.2033 B.100 C.20 D.203

要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20厘米,要使其体积最大,则其高应为(  )厘米. A.2033 B.100 C.20 D.203

题目
要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20厘米,要使其体积最大,则其高应为(  )厘米.
A.
20
3
3

B. 100
C. 20
D.
20
3
答案
设圆锥的高为x,则底面半径为
202−x2

其体积为V=
1
3
πx(202-x2)(0<x<20),V′=
1
3
π(400-3x2),
令V′=0,解得x1=
20
3
3
,x2=-
20
3
3
(舍去).
当0<x<
20
3
3
时,V′>0;当
20
3
3
<x<20时,V′<0;
∴当x=
20
3
3
时,V取最大值.
故选A
设出圆锥的高x,求出底面半径,推出体积的函数表达式,利用导数求出体积的最大值时的高即可.

棱柱、棱锥、棱台的体积.

本题考查旋转体问题,以及利用导数求函数的最值问题,考查计算能力,是中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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