设1996x3=1997y3=1998z3,xyz>0,且1996x2+1997y2+1998z2和的立方根=1996的立方根+1997的立方根+1998的立方

题目

设1996x3=1997y3=1998z3,xyz>0,且1996x2+1997y2+1998z2和的立方根=1996的立方根+1997的立方根+1998的立方

答案

令1996x3=1997y3=1998z3=k3
则x=3√1996/k y=3√1997/k z=3√1998/k 带入3√1996x2+1997y2+1998z2中解得
k=3√1996+3√1997+3√1998
3√1996x2+1997y2+1998z2=√1996+√1997+√1998化为
1996x2+1997y2+1998z2=(√1996+√1997+√1998)3
将等式1996x2+1997y2+1998z2=(√1996+√1997+√1998)3两边同时除以k3
得
1/x+1/y+1/z=(√1996+√1997+√1998)3/k3 =1