已知抛物线顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(a,4)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和a值.

已知抛物线顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(a,4)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和a值.

题目
已知抛物线顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(a,4)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和a值.
答案
设抛物线的方程为x2=2my,m∈R,再根据点M(a,4)在抛物线上可得抛物线开口向上,m>0.
故焦点在y轴的正半轴上,焦点为F(0,
m
2
),准线为y=-
m
2

由点M(a,4)到焦点的距离等于5,可得点M到准线的距离也是5,
即4+
m
2
=5,∴m=2,抛物线的方程为x2=4y.
把点M的坐标代入抛物线的方程可得a2=16,∴a=±4.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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