已知抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（a，4）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和a值．

题目

已知抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（a，4）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和a值．

答案

设抛物线的方程为x²=2my，m∈R，再根据点M（a，4）在抛物线上可得抛物线开口向上，m＞0．
故焦点在y轴的正半轴上，焦点为F（0，

m

2

），准线为y=-

m

2

，
由点M（a，4）到焦点的距离等于5，可得点M到准线的距离也是5，
即4+

m

2

=5，∴m=2，抛物线的方程为x²=4y．
把点M的坐标代入抛物线的方程可得a²=16，∴a=±4．