有一个椭圆与双曲线共焦点,焦点分别为F1,F2,P为椭圆于双曲线的一交点,如果向量PF1点乘向量PF2等于0,
题目
有一个椭圆与双曲线共焦点,焦点分别为F1,F2,P为椭圆于双曲线的一交点,如果向量PF1点乘向量PF2等于0,
(接题目)曲线的离心率为e2,椭圆离心率为e1,求e1平方分之一加上e2平方分之一的和?
答案
有一个椭圆与双曲线共焦点,焦点分别为F₁,F₂,P为椭圆于双曲线的一交点,如果向量PF₁•PF₂=0,双曲线的离心率为e₂,椭圆离心率为e₁,求1/e²₁+1/e²₂的值.
∵PF₁•PF₂=0,∴PF₁⊥PF₂,故在RT△F₁PF₂中,设∠PF₁F₂=θ,那么
│PF₁│=2ccosθ,│PF₂│=2csinθ,设椭圆的长半轴为a₁,双曲线的长半轴为a₂,那么,
对椭圆有 │PF₁│+│PF₂│=2c(cosθ+sinθ)=2a₁,故1/e₁=a₁/c₁=cosθ+sinθ
对双曲线有 │PF₁│-│PF₂│=2c(cosθ-sinθ)=2a₂, 故1/e₂=a₂/c₂=cosθ-sinθ
于是 1/e²₁+1/e²₂=(cosθ+sinθ)²+(cosθ-sinθ)²=(1+2sinθcosθ)+(1-2sinθcosθ)=2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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