已知椭圆C1:X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,其中F2也是抛物线C2：y^2=4X的焦点,

题目

已知椭圆C1:X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,其中F2也是抛物线C2：y^2=4X的焦点,
M是C1与C2在第一象限的交点,且|MF2|=5/3
求：（1）：椭圆C1的方程
（2）：已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆C1上,顶点B,D在直线7X-7y+1=0上,求直线AC的方程.

答案

1、a^2-b^2=1,x+1=5/3,x=2/3,y^2=8/3,4/9a^2+8/3b^2=1=4/9a^2+8/3(a^2-1)
化解得：9a^4-37a^2+4=0,(9a^2-1)(a^2-4)=0,a=2（舍去a=1/3）,椭圆方程为：
X^2/4+y^2/3=1
2、7X-7y+1=0,y=x+1/7,AC垂直BD,故AC的斜率k=-1,设AC的方程为：y=-x+n,代入椭圆方程得：7x^2-8nx+4n^2-12=0,设两根为x1,x2则,x1+x2=8n/7,y1+y2=-8n/7+2n=6n/7
则AC的中点（（x1+x2）/2,（y1+y2）/2）必过直线BD,则有：3n/7=4n/7+1/7,n=-1
AC的方程为：y=-x-1