设函数在a,b上有二阶导数,且f'(x)>0,证明

题目

设函数在a,b上有二阶导数,且f''(x)>0,证明

答案

泰勒展开即可.
先证f((a+b)/2)≤(1/(b-a))\int_{a}^{b}f(x)dx：
f(x)
=f((a+b)/2)+f'((a+b)/2)(x-(a+b)/2)+(1/2)f''(u)(x-(a+b)/2)^2
>f((a+b)/2)+f'((a+b)/2)(x-(a+b)/2)
因此
\int_{a}^{b}f(x)dx
>\int_{a}^{b}(f((a+b)/2)+f'((a+b)/2)(x-(a+b)/2))dx
=(f((a+b)/2)-((a+b)/2)f'((a+b)/2))(b-a)+f'((a+b)/2)(b^2-a^2)/2
=f((a+b)/2)(b-a)
下面证明后一不等式
a