已知函数f(x)的定义域是x不等于0的一切实数,对定义域内的任意x1,x2,都有f(x1*x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时f(x)>0,f(2)=1,求证：f(x)是偶函数

题目

已知函数f(x)的定义域是x不等于0的一切实数,对定义域内的任意x1,x2,都有f(x1*x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时f(x)>0,f(2)=1,求证：f(x)是偶函数
证明f(x)在（0,正无穷）上是增函数
解不等式f(2x^2-1)

答案

1、
f(1 * 1) = f(1) + f(1),得 f(1) = 0
又有
f(-1 * -1) = f(-1) + f(-1)
0 = 2f(-1)
f(-1) = 0
可得
f(-1 * x) = f(-1) + f(x)
f(-x) = f(x)
所以f(x)是偶函数
2、
设b > 1,a > 0,得 ab > a,据题目条件可得f(b) > 0
f(ab) = f(a) + f(b)
f(ab) > f(a)
由ab > a可得f(ab) > f(a),所以f(x)在(0,正无穷)单调递增
3、
f(2x^2 - 1) < 2
f(2x^2 - 1) < 1 + 1
因为 f(2) = 1(题目条件),得
f(2x^2 - 1) < f(2) + f(2)
f(2x^2 - 1) < f(2 * 2)
f(2x^2 - 1) < f(4)
因为f(x)是偶函数,f(x)在(0,正无穷)单调递增,
所以f(x)在(负无穷,0)单调递减
当2x^2 - 1 > 0时,即 x > (根号2)/2 或 x < -(根号2)/2,时
2x^2 - 1 < 4
2x^2 < 3
x^2 < 3/2
得 -(根号6)/2 < x < -(根号2)/2 或 (根号2)/2 < x < (根号6)/2
当2x^2 - 1 < 0时,即 -(根号2)/2 < x < (根号2)/2 ,时
2x^2 - 1 > -4
2x^2 > -3 （恒成立）
得 -(根号2)/2 < x < (根号2)/2
综上所述,此不等式的解集是
-(根号6)/2 < x < -(根号2)/2 或 -(根号2)/2 < x < (根号2)/2 或 (根号2)/2 < x < (根号6)/2