求极限lim（x→0）（1/sin²x-1/x²cos²x）

题目

求极限lim（x→0）（1/sin²x-1/x²cos²x）
我的算法为什么不对?
=lim（x→0）（1/sin²x-1/x²）
=lim（x→0）（x²-sin²x / x²sin²x）
=lim（x→0）（x²-sin²x /x^4）
=lim（x→0） 2x-2sinxcosx / 4x³=1-cosx / 6x²
=1/12

答案

cos^2x哪去了?等价量替换必须是相对于整个表达式是因子的形式出现的才可以.
所以第一步就不能把cos^2x等价于1.
必须先通分后等价,然后化简用洛必达法则：
＝lim (x^2cos^2x－sin^2x)/x^2sin^2x
=lim (xcosx+sinx)/x *lim (xcosx－sinx)/x^3
=2*lim (－xsinx)/3x^2
=－2/3.