已知椭圆C1和双曲线C2的焦点都是F1（-根号2,0）f2（根号2,0）,且C1与C2的一个公共点为P（根号2.1）

题目

已知椭圆C1和双曲线C2的焦点都是F1（-根号2,0）f2（根号2,0）,且C1与C2的一个公共点为P（根号2.1）
（1）求椭圆c1和双曲线c2的方程
（2）求过点M（0,2）的双曲线C2的切线的方程

答案

1.
按椭圆定义：c^2 = 2 = a^2 - b^2
[x^2/a^2] + [y^2/(a^2 - 2)] = 1 经过 (√2 ,1)
解得：a^2 = 1 或 4 ,∵a^2 > c^2 = 2 ,∴a^2 = 4 ,b^2 = 2
∴椭圆方程：[x^2/4] + [y^2/2] = 1
按双曲线定义：c^2 = a^2 + b^2 = 2
[x^2/a^2] - [y^2/(2 - a^2)] = 1 经过 (√2 ,1)
解得：a^2 = 1 或 4 ,∵a^2 < c^2 = 2 ,∴a^2 = 1 ,b^2 = 1
∴双曲线方程：x^2 - y^2 = 1
2.
可设经过M(0 ,2)的直线为：y = kx + 2 ,联立双曲线方程 ：
(kx + 2)^2 = x^2 - 1 ,∴(k^2 - 1)x^2 + 4kx + 5 = 0 ,
∵双曲线的渐近线为：y = x 和 y = -x ,因此若k^2 - 1 = 0 (即k = 1或-1时) ,所求直线与渐近线平行 ,与双曲线不相切且产生交点 ,∴k^2≠1 ,
因此对上述一元二次方程取△ = 0 可得：16k^2 = 20(k^2 - 1) ,k^2 = 5 ,
∴k = √5 或 -√5
∴满足条件的切线方程有两条：
L1 : y = √5x + 2
L2 : y = -√5x + 2