已知双曲线C的方程为Y^2／a^2-X^2／b^2=1（a＞0,b＞0),e=（根号5）／2, 顶点到渐近线距离为（2倍根号5

题目

已知双曲线C的方程为Y^2／a^2-X^2／b^2=1（a＞0,b＞0),e=（根号5）／2, 顶点到渐近线距离为（2倍根号5
已知双曲线C的方程为Y^2／a^2-X^2／b^2=1（a＞0,b＞0),e=（根号5）／2,
顶点到渐近线距离为（2倍根号5）／5.
①求C的方程
②P是双曲线上一点,A,B两点在C的两条渐近线上,且分别在一,二象限,若
向量AP=λ向量PB,λ∈[1／3,2],求三角形AOB面积取值范围
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答案

由于：双曲线y^2/a^2-x^2/b^2=1
则其上焦点为(0,c),上准线:y=a^2/c
上顶点为(0,a)一条渐近线方程为：y=(a/b)x
由于：上焦点到上准线的距离是1/2
则有：c-a^2/c=1/2 -----(1)
又：顶点到渐近线的距离为√3/2
则有：(0,a)到y=(a/b)x的距离为√3/2
将直线化为一般式得：ax-by=0
利用点到直线距离公式,则有：
d=√3/2=|0-ba|/√[a^2+b^2]=ab/c -----(2)
又：a^2+b^2=c^2 -----(3)
则联立(1)(2)(3)可得：
a=√3,b=1
则：双曲线方程为：y^2/3-x^2=1