不定积分S(x+1)/[x(1+xe^x)]dx

题目

不定积分S(x+1)/[x(1+xe^x)]dx

答案

∫ (x+1)/[x(1+xe^x)] dx
=∫ (x+1+xe^x-xe^x)/[x(1+xe^x)] dx
=∫ (1+xe^x)/[x(1+xe^x)] dx + ∫ (x-xe^x)/[x(1+xe^x)] dx
=∫ 1/x dx + ∫ (1-e^x)/(1+xe^x) dx
=ln|x| + ∫ (1+xe^x-xe^x-e^x)/(1+xe^x) dx
=ln|x| + ∫ (1+xe^x)/(1+xe^x) dx - ∫ (xe^x+e^x)/(1+xe^x) dx
=ln|x| + ∫ 1 dx - ∫ 1/(1+xe^x) d(xe^x)
=ln|x| + x - ln(1+xe^x) + C

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