如何证明有理数集是域?

题目

如何证明有理数集是域?

答案

设a,b是有理数,则a,b可以表示为分数的形式.
不妨假设a=p1/q1,b=p2/q2
1.有理数对加法封闭,即a+b=p1/q1+p2/q2=(p1*q2+p2*q1)/q1*q2仍然是分数.
2.有理数对乘法封闭,即a*b=(p1*q1)/(p2*q2)仍然是分数.
3.对加法有单位元0,对乘法有单位元1.
4.对加法每个元素x有逆元-x,且-x也在有理数集内.
5.对加法每个元素x有逆元1/x,且1/x也在有理数集内.
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总之对于域的每条定理一一验证.证明都是很显然的.我记不清域的所有定理了,不能全部写出,很抱歉.可以参考《近世代数》.
当然,由于域是一种特殊的环,也可先证有理数为环,再附加条件使其成为域.