设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为M，如果M⊆[1，4]，则实数a的范围是_．

题目

设不等式x²-2ax+a+2≤0的解集为M，如果M⊆[1，4]，则实数a的范围是______．

答案

∵不等式x²-2ax+a+2≤0的解集为M，M⊆[1，4]，
当M=∅时，△=（-2a）²-4（a+2）＜0，
解得，-1＜a＜2；
当M≠∅时，
设f（x）=x²-2ax+a+2，图象是抛物线，开口向上，对称轴是x=a；
∴

(−2a)2−4(a+2)≥0 1≤a≤4 f(1)≥0 f(4)≥0

，
解得：2≤a≤

18

7

，
∴a的取值范围为（-1，2）∪[2，

18

7

]=（-1，

18

7

]
故答案为：(−1，

18

7

]

由已知中关于x的不等式x²-2ax+a+2≤0的解集为M，M⊆[1，4]，根据二次函数的图象和性质，得到满足条件的a的取值范围

本题考点：二次函数的性质．

考点点评：本题考查了二次函数的图象与性质，解题时根据二次函数的图象分析M⊆[1，4]时满足的条件，将问题转化解不等式组，是解题的关键．