若不等式x2108+y24≥xy3k对于任意正实数x,y总成立的必要不充分条件是k∈[m,+∞),则正整数m只能取 _ .
题目
若不等式
+≥对于任意正实数x,y总成立的必要不充分条件是k∈[m,+∞),则正整数m只能取 ___ .
答案
不等式
+≥两边同除以xy得:
+≥∵不等式
+≥对于任意正实数x,y总成立
∴
+≥对于任意正实数x,y总成立
∴
≤2=∴
3k≥∴
k≥++又∵总成立的必要不充分条件是k∈[m,+∞),
∴
[+,+∞)⊆[m,+∞),
∴正整数m只能取 1或2
故答案为:1或2
将不等式
+≥两边同除以xy转化为
+≥,左边用基本不等式,求其最小值,再由“不等式
+≥对于任意正实数x,y总成立”得到
≤2=求得k的范围,最后由“成立的必要不充分条件是k∈[m,+∞)”,求得正整数m的取值.
其他不等式的解法.
本题主要考查不等式恒成立,往往转化为求代数式的最值问题,一般有两种方法,一是基本不等式,二是函数法.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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