已知点A(4,1),B(0,4)试在直线L;3x-y-4=0上找一点P使|PA|-PB|的绝对值最大,并求最大值

题目

已知点A(4,1),B(0,4)试在直线L;3x-y-4=0上找一点P使|PA|-PB|的绝对值最大,并求最大值

答案

A(4,1),B(0,4)在直线L;3x-y-4=0的异侧
设B关于L的对称点为B'(m,n)
BB'的中点M(m/2,(n+4)/2)
则kBB'=(n-4)/m=-1/3
3m/2-(n+4)/2-4=0
解得m=24/5,n=14/5
∴B'(24/5,12/5)
∴||PA|-|PB||=||PA|-|PB'||≤|AB'|
当P,A,B'三点共线时,取等号
（不共线时两边只差小于第三边）
直线AB':y=7/4x-6
由｛y=7/4x-6
{3x-y-4=0
解得P（-8/5,-44/5)
∴P坐标为（-8/5,-44/5)
最大距离为|AB'|=√[(4-24/5)²+(1-12/5)²]=√65/5