已知四棱锥p-abcd中,底面abcd为菱形pa⊥平面abcd,∠abc=60度,e,f分别是bc,pc的中点

题目

已知四棱锥p-abcd中,底面abcd为菱形pa⊥平面abcd,∠abc=60度,e,f分别是bc,pc的中点
若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为2分之根号6,求2面角E-AF-C的余弦值

答案

\x0d



\x0d\x0d\x0d在PAD平面,过A作AH'垂直PC于H'.连接AE、AH'、EH'\x0d提示：\x0d棱形∠ABC＝60.所以EA⊥AC.设棱形边为a,则：AE=√3*a/2.\x0d又∵PA⊥ABCD.∴PA⊥EA\x0d∴EA⊥面PAC\x0d∴EA⊥PC\x0d又∵AH⊥PC,∴PC⊥面AEH',∴PC⊥EH'\x0d∠EH'A为EH与平面PAD所成最大角.\x0dAEH'为直角三角形.\x0dtan[∠EH'A]＝AE/AH'=(√3*a/2)/AH'=√6/2\x0d所以AH'=√2a/2\x0d所以∠ADH'=45度.则PA=a=AC.\x0d则：AF⊥FC.\x0d\x0dAF=√2a/2\x0dEF=√2a/2\x0dAE=√3a/2\x0dAEF为等腰三角形.\x0d过E作EG垂直于AF,过G作GK垂直AF,交AC于K.\x0d求得EG＝√30a/8\x0dAG=3√2a/8\x0dGK‖FC,AF=FC\x0d所以GK=AG=3√2a/8\x0dAK=AG*√2=3a/4\x0dCK=AC-AK=a/4\x0d角ECK＝60度.恰好CK=EC/2\x0d所以EK⊥KC.而EK⊥PA,所以EK⊥平面AGK\x0d\x0d所以三角形EGK是直角三角形.\x0dcos[EGK]=GK/GE\x0d=(3√2a/8)/(√30a/8)\x0d=√15/5