已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC. (1)求证:BG=FG; (2)若AD=DC=2,求AB的长.

已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC. (1)求证:BG=FG; (2)若AD=DC=2,求AB的长.

题目
已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC.
(1)求证:BG=FG;
(2)若AD=DC=2,求AB的长.
答案
(1)证明:连接AG,
∵∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,
∴∠ABC=∠AFE.
在△ABC和△AFE中,
∠ABC=∠AFE
∠EAF=∠CAB
AC=AE

∴△ABC≌△AFE(AAS),
∴AB=AF.
在Rt△ABG和Rt△AFG中,
AG=AG
AB=AF

∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL).
∴BG=FG;
(2)∵AD=DC,DF⊥AC,
∴F为AC中点,
∵AC=AE,
∴AF=
1
2
AC=
1
2
AE.
∴∠E=30°.
∵∠EAD=90°,
∴∠ADE=60°,
∴∠FAD=∠E=30°,
∴AF=
3

∴AB=AF=
3
(1)由题中可求得AE和AC所在的三角形全等,进而得到BG和FG所在三角形全等的条件;
(2)求得AF长即可求得AB长.利用等腰三角形的三线合一定理可得AF=
1
2
AC=
1
2
AE,进而求得一些角是30°,主要利用AD长,直角三角形勾股定理来求解.

直角梯形;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.

本题考查直角梯形、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定,知识点多,综合性强.突破此题的关键在于第一问通过两次全等证Rt△ABG≌Rt△AFG,第二问求AB的长应充分利用等腰△ADC的性质得AF=

1
2
AC=
1
2
AE.从而得出∠E=30°.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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