将自然数1至6分别写在一个正方体的6面上,然后把任意相邻两面上的数之和写在这两个的公共棱上,则在这个正方体中所有棱上不同数的个数的最小值和最大值分别是什么?

题目

将自然数1至6分别写在一个正方体的6面上,然后把任意相邻两面上的数之和写在这两个的公共棱上,则在这个正方体中所有棱上不同数的个数的最小值和最大值分别是什么?
请注意看清题目后再回答！不是指简单的相加，是问相邻两面相加得数相同的最多有几个 最少有几个！

答案

【结论】：棱上不同和数的个数：最大值为9,最小值为7
【证明】：
①根据题意,相邻两面上的数相加,正方体每个面都有4个相邻面,
所以：每个面的数字都是加4遍；
1、2、3、4、5、6这6个数的和为21；
所以：不论数字怎么摆放,12条棱12个数字的和恒等于：4×21＝84
这6个数任取2个相加,只有9个不重复的数字：3,4,5,6,7,8,9,10,11
所以：根据“抽屉原理”,12条棱的数字至少重复3个.
即：棱上不同和数的个数最多9个!
②9个和数3,4,5,6,7,8,9,10,11分
3=1+2
4=1+3
5=1+4=2+3 [可重复1次]
6=1+5=2+4 [可重复1次]
7=1+6=2+5=3+4 [可重复2次]
8=2+6=3+5 [可重复1次]
9=3+6=4+5 [可重复1次]
10=4+6
11=5+6
如果所有重复的情况都出现,这些重复的数字的和为：
2*(5+6+8+9)+3*7=56+21=77
12个和数字的和恒为84,剩余一个和数=84-77=7,而7已经被重复了2次,不可能再出现.
所以这种情况不成立.
所以最多只能重复5次.
即：棱上和数最少7个.
■比如：相对的2个面放入3和4,其他面按顺序放入：1、5、2、6.
故得证.