矩阵乘法结合律如何证明?

题目

矩阵乘法结合律如何证明?
矩阵的乘法满足以下的结合律：
(AB)C=A(BC)
请问上式如何通过矩阵的定义证明呢?

答案

设n阶矩阵为A=(aij),B=(bij),C=(cij),AB=(dij),BC=(eij),(AB)C=(fij),A(BC)=(gij)
由矩阵的乘法得
dij=ai1*b1j+ai2*b2j+...+ain*bnj,i,j=1,2,...,n,
eij=bi1*c1j+bi2*c2j+...+bin*cnj,i,j=1,2,...,n,
fij=di1*c1j+di2*c2j+...+din*cnj,i,j=1,2,...,n,
gij=ai1*e1j+ai2*e2j+...+ain*enj,i,j=1,2,...,n,
故对任意i,j=1,2,...,n有,
fij=di1*c1j+di2*c2j+...+din*cnj
=(ai1*b11+ai2*b21+...+ain*bn1)*c1j+(ai1*b11+ai2*b21+...+ain*bn1)*c2j+...+(ai1*b1n+ai2*b2n+...+ain*bnn)*cnj
=ai1(b11*c1j+b12*c2j+...+b1n*cnj)+ai2(b21*c1j+b22*c2j+...+b2n*cnj)
+...+ain(bn1*c1j+bn2*c2j+...+bnn*cnj)
=ai1*e1j+ai2*e2j+...+ain*enj=gij
故(AB)C=A(BC).